算法是解决问题的办法，那么解决问题的办法又是什么呢？
看个实例：拨号，拿起听筒，讲话，挂机。这是一个算法，它打出了一个电话。拨号、拿起听筒、讲话、挂机，他们也是算法，他们分别实现了什么，显而易见。那拨号这个算法又可以是：按１，按２，按３等组成，这些又都是算法。接着考虑按键，它又是由那些算法组成的呢？……
因此，不妨说算法是由一些更简单的算法组成的。这些简单的算法的组合是顺序相关的，比如，洗澡、穿衣服，反过来，我就得湿淋淋的去工作了。有些顺序则是可以调换的，比如洗澡和叠被。两者先做哪一个都无关紧要。这种可以调换次序的算法，是可以同时执行的，比如我在洗澡，我的爱人帮我叠的好了被子，完全可以。这种情形称为算法的并行处理。具有这样性质的算法成为可并行算法。
好，截至目前，我们可以说算法是一些更为简单的算法的序列。这是一个典型的递归定义。因为递归在算法中是一个重要的概念，这里先插一下，什么是递归呢？上面的例子就告诉我们，用自己解释自己就是递归。这里有个更经典的问题：问，什么是鸡？鸡蛋孵出来的。问，什么是鸡蛋？鸡生出来的……如此循环，就是逻辑上的先有鸡还是先有蛋的难题。它用鸡来解释鸡蛋，又用鸡蛋来解释鸡，应该算是一个递归，不过我们总是刻意的把这种情形排除，不只是因为这是一个逻辑悖论，更是因为他对解决问题没有任何帮助。星星还是那个星星，问题还是那个问题。我们的算法的递归定义却不然。“更简单”三个字就把问题规模改变了，也就是说问题的复杂度减小了（当然数量变大了），这时我们就讲这个递归在复杂度上是收敛的。递归的收敛性直接决定了这个算法是否可行。可行的递归算法一定是收敛的，不收敛的递归一定不是算法。递归定义的最後一个问题，他收敛于何处？递归的本质使得他必然是一个死循环，即使它是收敛的，因此我们必须定义一个递归的下限，也就是递归的逻辑收敛点。上面的算法定义，我们定义为当算法足够简单时递归终止。那么下面给出这个完整的递归定义，这里使用经典的四段递归式给出。
1、一些足够简单的方法是算法。
2、算法是一些更简单的算法的序列。
3、由以上1、2两条规则生成的是算法。
4、其他都不是算法。
关于递归就谈到这里。上面的定义不准确。什么叫足够简单？不同情形下，有不同的理解，不同层次的应用有不同层次的思考。用户可以只提要求，他们把这认为是足够简单的。架构人员只划分层次，他们认为这足够简单。实现人员更进一步，达到系统调用。底层开发人员可能需要递归更多层，不过最多不会超过cpu的指令集。当然还可以接着向下，下面是电路组成，量子物理的内容，我们只讲算法，指令集是我们递归的终点。
总而言之，算法是一系列cpu指令执行的序列，那么请问，计算机能够解决多少问题？这是一个组合问题。cpu的指令集是有限的，最长的指令也不会超过一个字长。事实上，现行的指令集往往仅有一两个字节。目前通用的IA-32体系便是如此，因为指令还要为操作数提供空间，如果执行一个操作还得读取两次，那么计算速度就要大打折扣。这里可以参考Java标准定义的指令集，由于它完全不用考虑底层电路的问题，他的指令集更规则些。由于组成最终算法的状态（指令）是有限的，那么有限的状态能否组成无限的算法，即有限的基本操作能否解决无限的问题呢？古语有云，“道生一，一生二，二生万物。”两个状态的组合就能组成万物。计算机更是希望零幺生成万物。上面的问题看似是肯定的，其实不然。要表示无限的状态，那么就需要无限的组合长度，而这是计算机不可接受的，不只是空间上，也是时间上。计算机硬件按照摩尔定律飞速前进了几十年，其唯一目的，就是大大增加这个组合量。然而以有限对无限，计算机的能力可以增强，但永远不会无所不能。算法执行的基础告诉我们，总有算法解决不了的问题，总有计算机解决不了的问题，总有人解决不了的问题，总有永远解决不了的问题。这就是算法的不完备性。
梦翔儿理解总结：完备就是要最终收敛，递归要有阈值，最终算法要计算机在有限程度上能解。一个人随着学识的增加，会发现不懂的东西会越来越多，为什么？因为知识的圈子大了，扩展的知识就越多了，所以学习是终身的，永远不会结束，就这是不完备性。但计算机要处理，要学习的东西必需是完备的，所以我们设计一个算法的同时，一定要考虑并证明其完备性！
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