度量空间(Metric Space)百科

　　度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。

　　则这样定义的d满足（I）（II）（III），是集合X的一个度量。这样的度量称为离散度量。

引自：http://baike.baidu.com/view/454418.htm

　　现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。具体说来,如果X是一集合,d是定义在X×X上的非负实值函数,使得对任何x,y,z∈X有：① d（x,y）=0的充要条件是x=y;② d（x,y）=d(y,x)；③ d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。这时便称X是一个度量空间，d(x,y)称为x与y之间的距离。
　　下面是几个度量空间的例子。
　　欧氏空间Rⁿ 　由所有的 n元实数组(x₁,x₂,…,x_n)构成集合Rⁿ,Rⁿ中元素x＝(x₁,x₂,…,x_n)与y＝(y₁,y₂,…,y_n)之间的距离定义为。
　　希尔伯特空间H  其中R表示实数集合。定义元素x=(x₁x₂，…，x_n,…)及y=(y₁，y₂，…，y_n…)之间的距离为。
　　贝尔空间B  B={(x₁,x₂，…,x_n,…)│(x_n∈R,n=1,2,…)}对于两个不同的元素x=(x₁,x₂,…,x_n,…)及y=(y₁,y₂,…,y_n，…),用m(x,y)表示满足 x_n≠y_n的最小标号n，定义x与y之间的距离为 ；再规定d(x,x)=0（x∈B）。一般假设Ω是任意一个集合,取X={(x₁,x₂,…x_n,…)|x_n∈Ω),可以按同样的方法定义m(x,y)与d(x,y)，得到的度量空间也称作贝尔空间。
　　函数空间 　处理分析问题时，根据具体情况需要可以引入种种函数空间。例如,考虑定义于闭区间【0,1】上的一切连续实值函数的集合，就可以定义两个函数? 和g的距离为
　　对于度量空间X,可以利用它的度量d 引进一个拓扑结构,其基的元就是所有的开球B(x,r)={y∈x｜d(x,y)<r}。这种拓扑结构称为由度量d 产生；同一集合上,不同的度量可以产生相同的拓扑结构。例如，对于实数集R, d(x,y)=｜x-y｜与就产生同一个拓扑结构。度量不是拓扑概念。
　　完备度量空间 　在度量空间中可以用距离定义点列的收敛概念:x_n→x₀就是指d（x_n,x₀）。点列{x_n}称为柯西点列，是指对任意正实数ε，都存在自然数N，使得m、n≥N时有。可以证明收敛点列一定是柯西点列，反过来并不成立。每个柯西点列都收敛的度量空间叫做完备度量空间。这类空间有许多好的性质。例如，完备度量空间中压缩映射原理成立。可以用它证明微分方程、积分方程以及无限线性代数方程组的一系列存在惟一性定理。度量空间X的任何子集Y配上原有的距离也成为度量空间,称作X的子空间。如果每个开球{x∈X｜d(x₀,x)<r}都含有Y 的点,便说Y是X 的稠密子空间。
　　完备化定理 　每一度量空间X 都是另一完备度量空间X的稠密子空间，而且X由X惟一构造出来。例如,实数直线就是有理数集的完备化，20世纪初建立严密的数学分析理论正是基于这一重要事实。
　　可以证明：在完备度量空间中可数多个稠密开子集的交仍是稠密集。
　　可度量化拓扑空间 　度量空间具有许多良好性质，例如，它满足第一可数公理，它是豪斯多夫空间，正规空间，还是仿紧空间。此外对度量空间而言，紧致性等价于下列三条中的任一条：①任何可数开覆盖都有有限子覆盖;②每一无限子集都在空间中有聚点:③每一点列都有收敛子列。紧度量空间一定满足第二可数公理从而必是可分的。实际上对于度量空间而言，可分性与第二可数公理等价。因此，一个拓扑空间的拓扑结构在什么条件下能作为一个度量空间的拓扑？这是拓扑空间理论的重要问题,称作度量化问题。50年代長田潤一。ю.М.斯米尔诺夫以及R.H.宾得到了可度量化问题的重要结果。例如，拓扑空间可度量化的充要条件是：它是T₁正则空间，且具有一个基，其中每个B_n都是局部有限的开集族。

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